Question

如圖,已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,AC⊥BC,D為AB的中點,AC=BC=BB₁.

求證:(1)BC₁⊥AB₁.
(2)BC₁∥平面CA₁D.

Answer 1

見解析

【證明】如圖,以C₁點為原點,C₁A₁,C₁B₁,C₁C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.

設AC=BC=BB₁=2,
則A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A₁(2,0,0),B₁(0,2,0),
C₁(0,0,0),D(1,1,2).
(1)由于=(0,-2,-2),
=(-2,2,-2),
所以·=0-4+4=0,
因此⊥,
故BC₁⊥AB₁.
(2)取A₁C的中點E,連接DE,由于E(1,0,1),
所以=(0,1,1).
又=(0,-2,-2),
所以=-.
又ED和BC₁不共線,所以ED∥BC₁.
又DE?平面CA₁D,BC₁?平面CA₁D,
故BC₁∥平面CA₁D.