Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D在邊BC上，AD⊥C₁D．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面BC C₁B₁；
（Ⅱ）設E是B₁C₁上的一點，當的值為多少時，A₁E∥平面ADC₁？請給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由于正三棱柱中，CC₁⊥平面ABC，得到AD⊥CC₁又已知AD⊥C₁D，利用線面垂直的判斷定理得到結論．
（Ⅱ）由（1）得到D是BC的中點，所以當=1，即E為B₁C₁的中點時，A₁E∥平面ADC₁，利用平行四邊形的對邊平行得到A₁E∥AD，然后利用線面平行的判定定理得到證明．
解答：解：（Ⅰ）在正三棱柱中，CC₁⊥平面ABC，AD⊆平面ABC，
∴AD⊥CC₁．                   …（2分）
又AD⊥C₁D，CC₁交C₁D于C₁，且CC₁和C₁D都在面BCC₁B₁內，
∴AD⊥平面BCC₁B₁．            …（5分）
（Ⅱ）由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中點．…（7分）
當=1，即E為B₁C₁的中點時，A₁E∥平面ADC₁．…（8分）
事實上，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形BC C₁B₁是矩形，且D、E分別是BC，BC₁B₁的中點，
所以BB₁∥DE且BB₁=DE．…（10分）
又BB₁∥AA₁，且BB₁=AA₁，
∴AA₁∥DE，且AA₁=DE．     …（12分）
所以四邊形AA₁DE為平行四邊形，所以A₁E∥AD．
而A₁E在平面ADC₁外，故A₁E∥平面ADC₁． …（14分）
點評：本題考查線面垂直的判定定理、線面平行的判定定理；證明線線平行的方法常用：中位線、平行四邊形等，屬于中檔題．