Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）滿足f（0）=﹣1，對任意x∈R都有f（x）≥x﹣1，且f（﹣ +x）=f（﹣ ﹣x）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）是否存在實數a，使函數g（x）=log [f（a）]x在（﹣∞，+∞）上為減函數？若存在，求出實數a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=ax2+bx+c（a≠0）及f（0）=﹣1∴c=﹣1

又對任意x∈R，有 ．

∴f（x）圖象的對稱軸為直線x=﹣ ，則﹣ =﹣ ，∴a=b

又對任意x∈R都有f（x）≥x﹣1，

即ax2+（b﹣1）x≥0對任意x∈R成立，

∴ ，故a=b=1∴f（x）=x2+x﹣1

（2）解：由（1）知 = （a2+a﹣1）x，其定義域為R

令u（x）=（a2+a﹣1）x

要使函數g（x）= （a2+a﹣1）x在（﹣∞，+∞）上為減函數，

只需函數u（x）=（a2+a﹣1）x在（﹣∞，+∞）上為增函數，由指數函數的單調性，有a2+a﹣1＞1，解得a＜﹣2或a＞1故存在實數a，當a＜﹣2或a＞1時，函數 在（﹣∞，+∞）上為減函數

【解析】（1）根據f（0）=﹣1可求出c的值，根據 可得a與b的關系，最后根據對任意x∈R都有f（x）≥x﹣1，可求出a與b的值，從而求出函數f（x）的解析式；（2）令u（x）=f（a），要使函數 在（﹣∞，+∞）上為減函數，只需函數u（x）=f（a）在（﹣∞，+∞）上為增函數，由指數函數的單調性可得a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的函數單調性的判斷方法，需要了解單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能得出正確答案．