Question

已知f_n（x）=（1+2）ⁿ，n∈N^*．
（1）若g（x）=f₄（x）+f₅（x）+f₆（x），求g（x）中含x²項的系數；
（2）若p_n是f_n（x）展開式中所有無理項的二項式系數和，數列{a_n}是各項都大于1的數組成的數列，試用數學歸納法證明：．

Answer 1

解：（1）g（x）=f₄（x）+f₅（x）+f₆（x）=（1+2）⁴+（1+2）⁵+（1+2）⁶，
∴g（x）中含x²項的系數為 16+5×16+15×16=336．（3分）
（2）證明：由題意，p_n=2^n-1．（5分）
①當n=1時，p₁（a₁+1）=a₁+1，成立；
②假設當n=k時，p_k（a₁a₂…a_k+1）≥（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k）成立，
當n=k+1時，（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k）（1+a_k+1）≤2^k-1（a₁a₂…a_k+1）（1+a_k+1）
=2^k-1（a₁a₂…a_ka_k+1+a₁a₂…a_k+a_k+1+1）．（*）
∵a_k＞1，a₁a₂…a_k（a_k+1-1）≥a_k+1-1，即a₁a₂…a_ka_k+1+1≥a₁a₂…a_k+a_k+1，
代入（*）式得（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k）（1+a_k+1）≤2^k（a₁a₂…a_ka_k+1+1）成立．
綜合①②可知，p_n（a₁a₂…a_n+1）≥（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）對任意n∈N^*成立，
即對任意n∈N^*成立．（10分）
分析：（1）先確定函數g（x），再利用二項式定理可得g（x）中含x²項的系數；
（2）確定p_n的表達式，根據數學歸納法的步驟，先證n=1時成立，再設n=k時成立，利用歸納假設證明n=k+1時成立即可．
點評：本題考查二項式定理，考查數學歸納法的運用，掌握數學歸納法的證題步驟是關鍵．