Question

已知數列{a_n}的首項a₁=4，且

1

an

-

1

an+1

=

1

4n(n+1)

（n∈N^*），數列{b_n}的前n項和S_n=2-b_n．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設cn=an2•bn，證明：當且僅當n≥3時，c_n+1＜c_n．

Answer 1

分析：（1）由已知中

1

an

-

1

an+1

=

1

4n(n+1)

，利用裂項相消法可得

1

a1

-

1

an

=

1

4

(1-

1

n

)，結合a₁=4，可得數列{a_n}的通項公式，由數列{b_n}的前n項和S_n=2-b_n，根據n≥2時，S_n-1=2-b_n-1，易得數列為等比數列，求出首項后，可得數列{b_n}的通項公式
（2）由（1）中數列{a_n}和{b_n}的通項公式；求出數列{C_n}的通項公式，作差C_n+1-C_n并化簡，易得當n＜3時，C_n+1-C_n＞0，當n≥3時，C_n+1-C_n＜0，綜合討論結果，可得答案．

解答：解：（1）∵

1

an

-

1

an+1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

×

(n+1)-n

n(n+1)

=

1

4

×(

1

n

-

1

n+1

)
∴(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+(

1

a3

-

1

a4

)+…+(

1

an-1

-

1

an

)=

1

4

×(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

)=

1

4

(1-

1

n

)
即

1

a1

-

1

an

=

1

4

(1-

1

n

)
又∵a₁=4，
∴a_n=4n，
∵數列{b_n}的前n項和S_n=2-b_n…①
當n≥2時，S_n-1=2-b_n-1…②
①-②得b_n=b_n-1-b_n，
即

bn

bn-1

=

1

2

又∵n=1時，S₁=2-b₁=b₁，
∴b₁=1
故數列{b_n}是一個以1為首項，以

1

2

為公比的等比數列
故b_n=2^1-n
證明：（2）∵cn=an2•bn=n²2^5-n
∴C_n+1-C_n=（n+1）²2^4-n-n²2^5-n=2^4-n[-（n-1）²+2]
當n＜3時，C_n+1-C_n＞0
當n≥3時，C_n+1-C_n＜0
即當且僅當n≥3時，c_n+1＜c_n．

點評：本題考查的知識點是數列與不等式的綜合，數列的遞推式，（1）的關鍵是熟練掌握求數列通項公式的方法，（2）的關鍵是作差C_n+1-C_n并化簡．