Question

（08年蕪湖一中）已知在平面直角坐標系中，若在曲線的方程中以為正實數）代替得到曲線的方程，則稱曲線關于原點“伸縮”，變換稱為“伸縮變換”，稱為伸縮比．

(1)已知曲線的方程為，伸縮比，求關于原點“伸縮變換”后所得曲線的標準方程；

(2)射線的方程，如果橢圓經“伸縮變換”后得到橢圓，若射線與橢圓分別交于兩點，且，求橢圓的標準方程；

(3)對拋物線，作變換，得拋物線；對作變換得拋物線，如此進行下去，對拋物線作變換,得拋物線．若，求數列的通項公式．

Answer 1

【解】(1) 由條件得，得：；（2分）

(2) “伸縮變換”，對作變換，得到，（3分）

解方程組得點A的坐標為；（4分）解方程組得點B的坐標為；（5分）＝＝，化簡后得，解得，因此橢圓的方程為或．（9分）

(3)對：作變換得拋物線：得，又，即，（11分）＝,則，（13分）

（或解：）

又，．（14分）