Question

在△ABC中，A=2B，sinB=

1

3

，AB=23．
（1）求sinA，sinC；
（2）求

CA

•

CB

的值．

Answer 1

分析：（1）由sinB的值，利用同角三角函數間的基本關系求出cosB的值，再由A=2B，得到sinA=sin2B，利用二倍角的正弦函數公式化簡，將sinB與cosB的值代入求出sinA的值，同理求出cosA的值，利用誘導公式得到sinC=sin（A+B），利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值；
（2）利用正弦定理列出關系式，將sinC，sinB，sinA，AB的值代入求出CA與CB的值，由cosC=-cos（A+B），利用兩角和與差的余弦函數公式求出cosC的值，利用平面向量的數量積運算法則化簡所求式子，即可求出值．

解答：解：（1）∵sinB=

1

3

，B為銳角，
∴cosB=

1-sin2B

=

2 2

3

，
∵A=2B，
∴sinA=sin2B=2sinBcosB=2×

1

3

×

2 2

3

=

4 2

9

，cosA=cos2B=cos²B-sin²B=

8

9

-

1

9

=

7

9

，
則sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

4 2

9

×

2 2

3

+

7

9

×

1

3

=

23

27

；
（2）由正弦定理

AB

sinC

=

AC

sinB

=

BC

sinA

，AB=23，sinC=

23

27

，sinB=

1

3

，sinA=

7

9

，
∴AC=

ABsinB

sinC

=9，BC=

ABsinA

sinC

=12

2

，
又cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-

7

9

×

2 2

3

+

4 2

9

×

1

3

=-

10 2

27

，
∴

CA

•

CB

=CA×CB×cosC=9×12

2

×（-

10 2

27

）=-80．

點評：此題考查了正弦定理，平面向量的數量積運算，以及兩角和與差的正弦、余弦函數公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．