Question

【題目】已知函數f（x）=ex+ax2﹣ex，a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）試確定a的取值范圍，使得曲線y=f（x）上存在唯一的點P，曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點P．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）求導函數，可得f′（x）=ex+2ax﹣e
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，
∴k=2a=0，∴a=0
∴f（x）=ex﹣ex，f′（x）=ex﹣e
令f′（x）=ex﹣e＜0，可得x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1；
∴函數f（x）的單調減區間為（﹣∞，1），單調增區間為（1，+∞）
（Ⅱ）設點P（x0 ， f（x0）），曲線y=f（x）在點P處的切線方程為y=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0）
令g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0）
∵曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點P，∴g（x）有唯一零點
∵g（x0）=0，g′（x）=
1）若a≥0，當x＞x0時，g′（x）＞0，∴x＞x0時，g（x）＞g（x0）=0
當x＜x0時，g′（x）＜0，∴x＜x0時，g（x）＞g（x0）=0，故g（x）只有唯一零點x=x0 ， 由P的任意性a≥0不合題意；
2）若a＜0，令h（x）= ，則h（x0）=0，h′（x）=ex+2a
令h′（x）=0，則x=ln（﹣2a），∴x∈（﹣∞，ln（﹣2a）），h′（x）＜0，函數單調遞減；x∈（ln（﹣2a），+∞），h′（x）＞0，函數單調遞增；
①若x0=ln（﹣2a），由x∈（﹣∞，ln（﹣2a）），g′（x）＞0；x∈（ln（﹣2a），+∞），g′（x）＞0，∴g（x）在R上單調遞增
∴g（x）只有唯一零點x=x0；
②若x0＞ln（﹣2a），由x∈（ln（﹣2a），+∞），h（x）單調遞增，且h（x0）=0，則當x∈（ln（﹣2a），x0），g′（x）＜0，g（x）＞g（x0）=0
任取x1∈（ln（﹣2a），x0），g（x1）＞0，
∵x∈（﹣∞，x1），∴g（x）＜ax2+bx+c，其中b=﹣e﹣f′（x0）．c=
∵a＜0，∴必存在x2＜x1 ， 使得
∴g（x2）＜0，故g（x）在（x2 ， x1）內存在零點，即g（x）在R上至少有兩個零點；
③若x0＜ln（﹣2a），同理利用 ，可得g（x）在R上至少有兩個零點；
綜上所述，a＜0，曲線y=f（x）上存在唯一的點P，曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點P（ln（﹣2a），f（ln（﹣2a）））．
【解析】（Ⅰ）求導函數，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，可求a的值，令f′（x）=ex﹣e＜0，可得函數f（x）的單調減區間；令f′（x）＞0，可得單調增區間；（Ⅱ）設點P（x0 ， f（x0）），曲線y=f（x）在點P處的切線方程為y=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），令g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0），曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點P等價于g（x）有唯一零點，求出導函數，再進行分類討論：（1）若a≥0，g（x）只有唯一零點x=x0 ， 由P的任意性a≥0不合題意；（2）若a＜0，令h（x）= ，則h（x0）=0，h′（x）=ex+2a，可得函數的單調性，進而可研究g（x）的零點，由此可得結論．