Question

給出下列五個命題：
①函數f（x）=lnx-2+x在區間（1，e）上存在零點；
②若f′（x₀）=0，則函數y=f（x）在x=x₀處取得極值；
③“a=1”是“函數f(x)=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數”的充分不必要條件．
④函數y=f（1+x）的圖象與函數y=f（1-x）的圖象關于y軸對稱；
⑤滿足條件AC=

3

，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有兩個．
其中正確命題的是

 

．

Answer 1

分析：①利用根的存在性定理進行判斷．②利用函數極值和導數之間的關系進行判斷．③利用函數的奇偶性性的定義和充分條件和必要條件進行判斷．④利用函數的對稱性進行判斷．④利用正弦定理或余弦定理進行判斷．

解答：解：①f（x）=lnx-2+x在區間[1，e]上單調遞增，且f（1）=1-2=-1＜0．f（e）=lne-2+e=e-2+1=e-1＞0，所以根據根的存在性定理可知在（1，e）上函數存在零點，所以①正確．
②函數f（x）=x³的導數為f'（x）=3x²，因為f'（0）=0，但函數f（x）=x³單調遞增，沒有極值，所以②錯誤．
③若函數f(x)=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數，則f（-x）=-f（x），即

a-e-x

1+ae-x

=-

a-ex

1+aex

，整理得

aex-1

ex+a

=

ex-a

1+aex

，即(1+aex)(aex-1)=(ex-a)(ex+a)，
即a²e^2x-1=e^2x-a²，所以a²=1，解得a=1或a=-1，所以③“a=1”是“函數f(x)=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數”的充分不必要條件．所以③正確．
④設A（a，b）是y=f（1+x）上的任意一點，則滿足b=f（1+a），則點A（a，b）關于y軸對稱的點的坐標為（-a，b），在函數y=f（1-x）上，
當x=-a時，y=f[1-（-a）]=f（1+a）=b，即（-a，b）在函數y=f（1-x）上，所以函數y=f（1+x）的圖象與函數y=f（1-x）的圖象關于y軸對稱，所以④正確．
⑤由正弦定理得

AC

sinB

=

AB

sinC

，即

3

3 2

=

1

sinC

，解得sinC=

1

2

，因為AC＞AB，所以B＞C，即C＜60⁰，所以滿足條件的三角形只有一個，所以⑤錯誤．
故正確的命題是①③④．
故答案為：①③④．

點評：本題主要考查各種命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強，難度較多．