Question

已知過點A（-1，0）的動直線l與圓C：x²+（y-3）²=4相交于P，Q兩點，M是PQ中點，l與直線m：x+3y+6=0相交于N．
（1）求證：當l與m垂直時，l必過圓心C；
（2）當PQ=2

3

時，求直線l的方程；
（3）探索

AM

•

AN

是否與直線l的傾斜角有關？若無關，請求出其值；若有關，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據l與m垂直，則兩條直線的斜率之積為-1，進而根據直線過點A（-1，0），我們可求出直線的方程，將圓的圓心坐標代入直線方程驗證后，即可得到結論；
（2）根據半弦長、弦心距、圓半徑構造直角三角形，滿足勾股定理，結合PQ=2

3

，易得到弦心距，進而根據點到直線的距離公式，構造關于k的方程，解方程即可得到k值，進而得到直線l的方程；
（3）根據已知條件，我們可以求出兩條直線的交點N的坐標（含參數k），然后根據向量數量積公式，即可求出

AM

•

AN

的值，進而得到結論．

解答：解：（1）∵l與m垂直，且km=-

1

3

，∴k₁=3，
故直線l方程為y=3（x+1），即3x-y+3=0．∵圓心坐標（0，3）滿足直線l方程，
∴當l與m垂直時，l必過圓心C．
（2）①當直線l與x軸垂直時，易知x=-1符合題意．
②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x+1），即kx-y+k=0，
∵PQ=2

3

，∴CM=

4-3

=1，則由CM=

|-k+3|

k2+1

=1，得k=

4

3

，
∴直線l：4x-3y+4=0．
故直線l的方程為x=-1或4x-3y+4=0．
（3）∵CM⊥MN，∴

AM

•

AN

=(

AC

+

CM

)•

AN

=

AC

•

AN

+

CM

•

AN

=

AC

•

AN

．
①當l與x軸垂直時，易得N(-1，-

5

3

)，則

AN

=(0，-

5

3

)，又

AC

=(1，3)，
∴

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=-5．
②當l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x+1），
則由

y=k(x+1) x+3y+6=0

得N(

-3k-6

1+3k

，

-5k

1+3k

)，則

AN

=(

-5

1+3k

，

-5k

1+3k

)．
∴

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=

-5

1+3k

+

-15k

1+3k

=-5．
綜上所述，a=18與直線l的斜率無關，且

AM

•

AN

=-5．

點評：本題考查的知識點是直線與圓相交的性質及向量在幾何中的應用，其中在處理圓的弦長問題時，根據半弦長、弦心距、圓半徑構造直角三角形，滿足勾股定理，進行弦長、弦心距、圓半徑的知二求一，是解答此類問題的關鍵．