Question

【題目】若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其定義域上的任意實(shí)數(shù)分別滿足： 和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．

（1）求的極值；

（2）函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)， 取極小值，其極小值為（2）函數(shù)和存在唯一的隔離直線

【解析】試題分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）和φ（x）的解析式，求出函數(shù)F（x）的解析式，根據(jù)求導(dǎo)公式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并求極值；（2）由（1）可知，函數(shù)f（x）和φ（x）的圖象在（，e）處相交，即f（x）和φ（x）若存在隔離直線，那么該直線必過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)隔離直線的斜率為k．則隔離直線方程為y-e=k（x-），即y=kx-k+e，根據(jù)隔離直線的定義，構(gòu)造方程，可求出k值，進(jìn)而得到隔離直線方程

試題解析：（1） ，

．

當(dāng)時(shí)， ．當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)函數(shù)遞減；

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)函數(shù)遞增；

∴當(dāng)時(shí)， 取極小值，其極小值為．

（2）解法一：由（1）可知函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，因此若存在和的隔離直線，則該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)．

設(shè)隔離直線的斜率為，則直線方程為，即．

由，可得當(dāng)時(shí)恒成立．

，

由，得．

下面證明當(dāng)時(shí)恒成立．

令，則，

當(dāng)時(shí)， ．

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)函數(shù)遞增；

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)函數(shù)遞減；

∴當(dāng)時(shí)， 取極大值，其極大值為．

從而，即恒成立.

∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線．

解法二：由（Ⅰ）可知當(dāng)時(shí)， （當(dāng)且當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．

若存在和的隔離直線，則存在實(shí)常數(shù)和，使得和恒成立，令，則且

，即．后面解題步驟同解法一．