Question

如圖，分別以正方形ABCD的四條邊為直徑畫半圓，重疊部分如圖中陰影區域．
（1）若向該正方形內隨機投一點，求該點落在陰影區域的概率？
（2）給正方形ABCD的四個頂點都作上一個標記，現有四種標記可供選擇，記“任一線段上（四邊）的兩個頂點標記都不同”為事件A，求事件A發生的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知本題是一個幾何概型，試驗發生包含的所有事件是矩形面積，而滿足條件的陰影區域，可以通過空白區域面得到，空白區域可以看作是由8部分組成，每一部分是由邊長為的正方形面積減去半徑為的四分之一圓的面積得到．
（2）先根據乘法原理計算出基本事件的總數，再對事件A進行分類討論：包含：用兩種標記，用三種標記，用四種標記，得出事件A包含的基本事件數，最后利用等可能事件的概率計算公式求解．
解答：解：（1）由題意知本題是一個幾何概型，設正方形ABCD的邊長為2，
∵試驗發生包含的所有事件是矩形面積S=2×2=4，
空白區域的面積是2（4-π）=8-2π，
∴陰影區域的面積為4-（8-2π）=2π-4
∴由幾何概型公式得到P==，
（2）基本事件的總數4 ⁴
事件A包含：用兩種標記，則ACBD顏色相同，A₄²種；
用三種標記，則AC或BD顏色相同有2A₄³種；
用四種標記有A₄⁴種
所以事件A包含的基本事件數為84種
所以P（A）=
點評：本題考查幾何概型、等可能事件的概率，且把幾何概型同幾何圖形的面積結合起來，幾何概型和古典概型是高中必修中學習的，高考時常以選擇和填空出現，有時文科會考這種類型的解答．