Question

已知函數f（x）=-

1

2

x22x，g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），其中a為常數．如果h（x）=f（x）+g（x）是增函數，且h^′（x）存在零點（h^′（x）為h（x）的導函數）．
（1）求a的值；
（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函數y=g（x）的圖象上兩點，g′(x0) =

y2-y1

x2-x1

（g^′（x）為g（x）的導函數），證明：x₁＜x₀＜x₂．

Answer 1

（1）因為h（x）=

1

2

x²-2x+log_a^x （x＞0），
所以h′（x）=x-2+

1

xlna

=

x2lna-2xlna+1

xlna

．
因為h（x）在區間（0，+∞）上是增函數，
所以

x2lna-2xlna+1

xlna

≥0在區間（0，+∞）上恒成立．
若0＜a＜1，則lna＜0，于是x²lna-2xlna+1≤0恒成立．
又h′（x）存在正零點，故△=（-2lna）²-4lna=0，lna=0，或lna=1與lna＜0矛盾．所以a＞1．
由x²lna-2xlna+1≥0恒成立，又h′（x）存在正零點，故△=（-2lna）²-4lna=0，
所以lna=1，即a=e．
（2）由（1），g′（x₀）=

1

x0

，于是

1

x0

=

y2-y1

x2-x1

，x₀=

x2-x1

lnx2-lnx1

以下證明x₁＜

x2-x1

lnx2-lnx1

（※）
（※）等價于x₁lnx₂-x₁lnx₁-x₂+x₁＜0．
令r（x）=xlnx₂-xlnx-x₂+x
r′（x）=lnx₂-lnx，在（0，x₂]上，r′（x）＞0，所以r（x）在（0，x₂]上為增函數．
當x₁＜x₂時，r（x₁）＜r（x₂）=0，即x₁lnx₂-x₁lnx₁-x₂+x₁＜0，
從而x₀＞x₁得到證明．
對于x₂＞

x2-x1

lnx2-lnx1

同理可證，所以x₁＜x₀＜x₂．