Question

如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓周上的一點．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若AB=2，AC=1，PA=1，求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）由圓周角定理可得AC⊥BC，由線面垂直的性質，可得PA⊥BC，進而由線面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC，結合面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面PBC；
（2）根據(jù)已知中AB=2，AC=1，PA=1，求出棱錐的底面積，進而將底面面積和高代入棱錐的體積公式，可得三棱錐P-ABC的體積

解答：證明：（1）由AB是圓的直徑，得AC⊥BC，
由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC．
又PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
所以BC⊥平面PAC．
因為BC?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAC．
解：（2）由AB=2，AC=1，∠ACB=90°，得CB=

3

，
所以S△ABC=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
三棱錐的高是PA=1，
所以VP-ABC=

1

3

×1×

3

2

=

3

6

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，其中熟練掌握空間線線垂直，線面垂直，面面垂直的相互轉化是解答的關鍵．