Question

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面，AB=a，BC=m，若在線段BC上存在點E滿足PE⊥ED，則a的取值范圍是

（0，

m

2

]

．

Answer 1

分析：先證明AE⊥ED，再利用三角形的相似，利用比例關系可得結論．

解答：解：連接AE，則
∵PA⊥底面ABCD，PE⊥ED，∴AE⊥ED
在矩形ABCD中，設BE=x，則CE=m-x，
∵△ABE∽△ECD
∴

AB

EC

=

BE

CD

∴a²=x（m-x）
∴x²-mx+a²=0，
∴△=m²-4a²≥0
∵a＞0，∴0＜a＜

m

2

∴0＜a＜

m

2

時，在線段BC上存在點E滿足PE⊥ED，
故答案為：（0，

m

2

]

點評：本題考查線面垂直，考查三角形的相似，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．