Question

已知數列{a_n}中，a₂=1，前n項和為S_n，且．
（1）求a₁，a₃；
（2）求證：數列{a_n}為等差數列，并寫出其通項公式；
（3）設，試問是否存在正整數p，q(其中1<p<q)，使b₁，b_p，b_q成等比數列？若存在，求出所有滿足條件的數組(p，q)；若不存在，說明理由．

Answer 1

(1) a₁=S₁=="0," a₃=2
(2) a_n=n－1
(3) 存在唯一正整數數 對(p，q)=(2，3)，使b₁，b_p，b_q成等比數列

試題分析：解：(1)令n=1，則a₁=S₁==0．      2分；         a₃=2；   3分
（2）由，即，  ①     得 ．  ②
②－①，得 ．                    ③         5分
于是，．                           ④
③+④，得，即．             7分
又a₁=0，a₂=1，a₂－a₁=1，        
所以，數列{a_n}是以0為首項，1為公差的等差數列．
所以，a_n=n－1．                                            9分
法二②－①，得 ．                   ③     5分
于是，                 7分
       所以，a_n=n－1．                           9分
(3)假設存在正整數數組(p，q)，使b₁，b_p，b_q成等比數列，
則lgb₁，lgb_p，lgb_q成等差數列，                               10分
于是，．                                         11分
所以，(☆)．易知(p，q)=(2，3)為方程(☆)的一組解．     12分
當p≥3，且p∈N*時，<0，
故數列{}(p≥3)為遞減數列                                      14分
于是≤<0，所以此時方程(☆)無正整數解．              15分
綜上，存在唯一正整數數 對(p，q)=(2，3)，使b₁，b_p，b_q成等比數列．    16分
點評：解決的關鍵是根據等差數列和等比數列的性質以及定義來求解運用。屬于基礎題。