Question

已知直線y=-x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)相交于A、B兩點．
（1）若橢圓的離心率為

3

3

，焦距為2，求線段AB的長；
（2）（文科做）若線段OA與線段OB互相垂直（其中O為坐標原點），求

1

a2

+

1

b2

的值；
（3）（理科做）若線段OA與線段OB互相垂直（其中O為坐標原點），當橢圓的離心率e∈[

1

2

，

2

2

]時，求橢圓的長軸長的最大值．

Answer 1

分析：（1）由e=

3

3

，2c=2，即

c

a

=

1

a

=

3

3

可求a，c結合a²=b²+c²可求ab，進而可求橢圓的方程，結合方程的根與系數的關系，利用弦長公式可求AB
（2）（文）設P（x₁，y₁），P（x₂，y₂），由OP⊥OQ?x ₁x ₂+y₁ y ₂=0即2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，結合韋達定理可求
（3）（理）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由

OA

⊥

OB

∴

OA

•

OB

=0，即x1x2+y1y2=0，聯立方程由△＞0整理得a²+b²＞1結合方程的根與系數關系整理得：a²+b²-2a²b²=0，結合橢圓的性質b²=a²-c²=a²-a²e²代入上式可求

解答：解：（1）∵e=

3

3

，2c=2，即

c

a

=

1

a

=

3

3

∴a=

3

，則b=

a2-c2

=

2

∴橢圓的方程為

x2

3

+

y2

2

=1…（2分）
聯立

x2 3 + y2 2 =1 y=-x+1

消去y得：5x2-6x-3=0…（3分）設A(x1，y1)，B(x2，y2)則x1+x2=

6

5

，x1x2=-

3

5

∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

[1+(-1)2]

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

( 6 5 )2+ 12 5

=

8 3

5

…（7分）
（2）（文）設P（x₁，y₁），P（x₂，y₂），由OP⊥OQ?x ₁x ₂+y₁ y ₂=0
∵y₁=1-x₁，y₂=1-x₂，代入上式得：2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
又將y=1-x代入

x2

a2

+

y2

b2

=1⇒（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，∵△＞0，
∴x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

代入①化簡得 

1

a2

+

1

b2

=2…（14分）
（3）（理）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵

OA

⊥

OB

∴

OA

•

OB

=0，即x1x2+y1y2=0
由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=-x+1

消去y得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0整理得a²+b²＞1…（8分）又x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

∴y1y2=(-x1+1)(-x2+1)=x1x2-(x1+x2)+1
∴x1x2+y1y2=0得：2x1x2-(x1+x2)+1=0∴

2a2(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0
整理得：a²+b²-2a²b²=0∴b²=a²-c²=a²-a²e²代入上式得2a2=1+

1

1-e2

，
∴a2=

1

2

(1+

1

1-e2

)

∵ 1 2 ≤e≤ 2 2

，∴

1

4

≤e2≤

1

2

∴

1

2

≤1-e2≤

3

4

，
∴

7

3

≤1+

1

1-e2

≤3
由此得

42

6

≤a≤

6

2

，
∴

42

3

≤2a≤

6

故長軸長的最大值為

6

．

點評：本題主要考查了利用橢圓的性質求解橢圓的方程及直線與橢圓的相交關系與方程的轉化，解題中要注意方程的根與系數的關系得靈活應用．