Question

函數f(x)＝2^x和g(x)＝x³的圖象的示意圖如右圖所示，設兩函數的圖象交于點A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，且x₁<x₂.

(1)請指出示意圖中曲線C₁，C₂分別對應哪一個函數？
(2)若x₁∈，x₂∈，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}指出a，b的值，并說明理由；
(3)結合函數圖象示意圖，判斷f(6)，g(6)，f(2010)，g(2010)的大小．

Answer 1

(1)C₁對應的函數為g(x)＝x³，C₂對應的函數為f(x)＝2^x.
(2)a＝1，b＝9.
理由如下：
令φ(x)＝f(x)－g(x)＝2^x－x³，則x₁，x₂為函數φ(x)的零點．
∵φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝2⁹－9³<0，φ(10)＝2¹⁰－10³>0，
∴方程φ(x)＝f(x)－g(x)的兩個零點x₁∈(1,2)，x₂∈(9,10)
因此整數a＝1，b＝9.
(3)從圖象上可以看出，當x₁<x<x₂時，f(x)<g(x)，
∴f(6)<g(6)．
當x>x₂時，f(x)>g(x)，∴g(2010)<f(2010)．
∵g(6)<g(2010)，
∴f(6)<g(6)<g(2010)<f(2010)．

略