Question

已知橢圓C₁與雙曲線C₂有共同的焦點F₁（-2，0），F₂（2，0），橢圓的一個短軸端點為B，直線F₁B與雙曲線的一條漸近線平行，橢圓C₁與雙曲線C₂的離心率分別為e₁，e₂，則e₁+e₂取值范圍為（　　）

A．（2，+∞）

B．（4，+∞）

C．（4，+∞）

D．（2，+∞）

Answer 1

分析：設橢圓的長軸為2a，短軸為2b；雙曲線的實軸為2a'，虛軸為2b'．由橢圓、雙曲線的基本概念，結合直線平行的條件，建立關系式化簡可得

c2

a′2

=

a 2

c2

，即(

c

a′

)2=(

a

c

)2，可得e₁•e₂=1．由此結合基本不等式求最值，即可算出e₁+e₂取值范圍．

解答：解：設橢圓的長軸為2a，短軸為2b；雙曲線的實軸為2a'，虛軸為2b'
∵橢圓的一個短軸端點為B，直線F₁B與雙曲線的一條漸近線平行，
∴

b′

a′

=

b

c

，平方可得

b′2

a′2

=

b2

c2

由此得到

a′2+b′2

a′2

=

c2+b2

c2

，即

c2

a′2

=

a 2

c2

，
也即(

c

a′

)2=(

a

c

)2，可得e₁•e₂=1
∵e₁、e₂都是正數，∴e₁+e₂≥2

e1e2

=2，且等號不能成立
因此e₁+e₂取值范圍為（2，+∞）
故選：D

點評：本題給出橢圓與雙曲線有公共的焦點，在橢圓的短軸端點B與F₁的連線平行雙曲線的一條漸近線情況下，求離心率之和的范圍．著重考查了橢圓、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．