Question

已知拋物線的頂點在原點，它的準線經過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦點，且與x軸垂直，拋物線與此雙曲線交于點(

3

2

，

6

)，求拋物線和雙曲線的方程．

Answer 1

分析：利用拋物線與雙曲線的標準方程及其性質即可得出．

解答：解：由題意，設拋物線的方程為 y2=2p

x

(p＞0)．
∵點(

3

2

，

6

)在拋物線上∴6=2p•

3

2

，p=2．
∴拋物線的方程為 y²=4x．
∵拋物線的準線方程x=-1
∴雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦點F₁（-1，0），則c=1，∴a²+b²=1．
∵點(

3

2

，

6

)在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上，∴

9 4

a2

-

6

b2

=1．
由 

a2+b2=1 9 4a2 - 6 b2 =1 c=1

解得a2=

1

4

，b2=

3

4

，
∴雙曲線的方程為 4x2-

4y2

3

=1．
∴所求拋物線和雙曲線的方程分別為y²=4x，4x2-

4y2

3

=1．

點評：熟練掌握拋物線與雙曲線的標準方程及其性質是解題的關鍵．