Question

（下列兩道題任選做一道，若兩道都做，則以第一道計分）
（1）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N是棱BC、CD的中點，則異面直線AD₁與MN所成的角為________度；
（2）如圖是表示一個正方體表面的一種平面展開圖，圖中的四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有________對．

Answer 1

解：（1）連接BD，BC₁，DC₁，MN∥BD，AD₁∥BC₁，
∴∠DBC₁為異面直線AD₁與MN所成的角
而三角形DBC₁為等邊三角形
∴∠DBC₁=60°
故答案為：60．
（2）畫出展開圖復原的幾何體，所以C與G重合，F，B重合，
所以：四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有：
AB與GH，AB與CD，GH與EF，
共有3對．
故答案為：3．
分析：（1）連接BD，BC₁，DC₁，將MN平移到BD，將AD₁平移到BC₁，根據異面直線的所成角的定義可知∠DBC₁為異面直線AD₁與MN所成的角，而三角形DBC₁為等邊三角形，得到此角．
（2）展開圖復原幾何體，標出字母即可找出異面直線的對數．
點評：（1）本題主要考查異面直線所成的角、異面直線所成的角的求法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉化思想，屬于基礎題．
（2）本題考查幾何體與展開圖的關系，考查異面直線的對數的判斷，考查空間想象能力．