Question

函數f（x）對任意實數m，n都有f（m+n）=f（m）+f（n）
（1）證明f（x）為奇函數；    
（2）若f（x）是R上的增函數且f（1）=1，解不等式f[log2(x2-x-2)]＜2．

Answer 1

分析：（1）定義法：令m=n=0可得f（0）=0，令m=x，n=-x可得f（x）+f（-x）=0，由奇函數定義可證明；
（2）2=f（1）+f（1）=f（2），則不等式可化為f[log2(x2-x-2)]＜f（2），利用函數的單調性可去掉符號“f”，解此對數不等式即可；

解答：（1）證明：令m=n=0，則f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0，
令m=x，n=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x），即f（0）=f（x）+f（-x），
所以f（-x）=-f（x），
故f（x）為奇函數；
（2）解：因為f（1）=1，所以2=f（1）+f（1）=f（2），
則f[log2(x2-x-2)]＜2，即f[log2(x2-x-2)]＜f（2），
又f（x）在R上遞增，所以log2(x2-x-2)＜2，
所以0＜x²-x-2＜4，解得-2＜x＜-1或2＜x＜3，
所以不等式的解集為{x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．

點評：本題考查抽象函數的奇偶性、抽象不等式及對數不等式的求解，考察學生靈活運用知識解決問題的能力．