Question

已知點（1，）是函數f（x）=a^x（a＞0），且a≠1）的圖象上一點，等比數列{a_n}的前n項和為f（n）-c，數列{b_n}（b_n＞0）的首項為c，且前n項和S_n滿足S_n-S_n-1=+（n≥2）．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）若數列{}前n項和為T_n，問T_n＞的最小正整數n是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據點（1，）在f（x）=a^x上求出a的值，從而確定函數f（x）的解析式，再由等比數列{a_n}的前n項和為f（n）-c求出數列{a_n}的公比和首項，得到數列{a_n}的通項公式；由數列{b_n}的前n項和S_n滿足S_n-S_n-1=可得到數列{ }構成一個首項為1公差為1的等差數列，進而得到數列{ }的通項公式，再由b_n=S_n-S_n-1可確定{b_n}的通項公式．
（2）先表示出T_n再利用裂項法求得的表達式T_n，根據T_n＞求得n．
解答：解：（1）由已知f（1）=a=，∴f（x）=，等比數列{a_n}的前n項和為f（n）-c=c，
∴a₁=f（1）=-c，a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-
數列{a_n}是等比數列，應有=q，解得c=1，q=．
∴首項a₁=f（1）=-c=
∴等比數列{a_n}的通項公式為=．
（2）∵S_n-S_n-1==（n≥2）
又b_n＞0，＞0，∴=1；
∴數列{ }構成一個首項為1，公差為1的等差數列，
∴=1+（n-1）×1=n                
∴S_n=n²
 當n=1時，b₁=S₁=1，
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
又n=1時也適合上式，
∴{b_n}的通項公式b_n=2n-1．
（2）==
∴
==
由，得，，
故滿足的最小正整數為112．
點評：本題考查了求數列通項中的兩種題型：構造等差（等比）數列法，利用a_n，s_n的關系求解．以及裂項法數列求和．與函數、不等式相聯系，增加了綜合性．要求具有綜合分析問題，解決問題的能力．