Question

已知數(shù)列{

a

n

}的前n項(xiàng)和為S_n，且向量

a

=(n，Sn)，

b

=(4，n+3)共線(xiàn)．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{

1

nan

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量

a

=（n，S_n）與向量

b

=（4，n+3）共線(xiàn)，可知S_n=

n(n+3)

4

，從而可求得a₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

n+1

2

，檢驗(yàn)知a_n=

n+1

2

，利用等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）由a_n=

n+1

2

，易求

1

nan

=2（

1

n

-

1

n+1

），從而可求得T_n．

解答：證明：（Ⅰ）證明∵

a

=（n，S_n），

b

=（4，n+3）共線(xiàn)，
∴n（n+3）-4S_n=0，
∴S_n=

n(n+3)

4

，
∴a₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

n+1

2

，
又a₁=1滿(mǎn)足此式，
∴a_n=

n+1

2

；                                     
∴a_n+1-a_n=

1

2

為常數(shù)，
∴數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為1，公差為

1

2

的等差數(shù)列．
（Ⅱ）∵

1

nan

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=

1

a1

+

1

2a2

+…+

1

nan

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）．
=

2n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列的判定與裂項(xiàng)法，考查向量共線(xiàn)的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題．