Question

（本小題滿分12分）在△ABC中，∠C = 90^o ,BC = 1.以A為圓心，AC為半徑畫弧交AB于D，在由弧CD與直線段BD、BC所圍成的范圍內作內接正方形EFGH（如圖）。設AC = x，EF =" y" ，（1）求y與x的函數關系式；（2）正方形EFGH的面積是否有最大值？試證明你的結論。

Answer 1

（1） （2）略

（本題滿分12分）

（1）延長FE與AB交于點P，則∵EP//BC，∴∽，
∴，即，∴， …………2分
在直角三角形AEP中，，，，
由勾股定理，得 （*）即。……6分
∵  ∴（*）式成立的充要條件是，
所以y與x的函數關系式為，        ……8分
（2）因為，等號當且僅當，即時取得10分  所以正方形的面積當時取得最大值12分
若由得,
所以即，
等式右端分子有理化，得
∴∵∴，
整理，得與的函數關系式為（）