Question

（2013•上海）已知正方形ABCD的邊長為1，記以A為起點，其余頂點為終點的向量分別為

a1

，

a2

，

a3

；以C為起點，其余頂點為終點的向量分別為

c1

，

c2

，

c3

，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，則(

ai

+

aj

)•(

ck

+

cl

)的最小值是

-5

．

Answer 1

分析：如圖建立直角坐標系．不妨記以A為起點，其余頂點為終點的向量

a1

，

a2

，

a3

分別為

AB

，

AC

，

AD

，以C為起點，其余頂點為終點的向量

c1

，

c2

，

c3

分別為

CD

，

CA

，

CB

．再分類討論當i，j，k，l取不同的值時，利用向量的坐標運算計算(

ai

+

aj

)•(

ck

+

cl

)的值，從而得出(

ai

+

aj

)•(

ck

+

cl

)的最小值．

解答：解：不妨記以A為起點，其余頂點為終點的向量

a1

，

a2

，

a3

分別為

AB

，

AC

，

AD

，以C為起點，其余頂點為終點的向量

c1

，

c2

，

c3

分別為

CD

，

CA

，

CB

．如圖建立坐標系．
（1）當i=1，j=2，k=1，l=2時，則(

ai

+

aj

)•(

ck

+

cl

)=[（1，0）+（1，1）]•[（（-1，0）+（-1，-1）]=-5；
（2）當i=1，j=2，k=1，l=3時，則(

ai

+

aj

)•(

ck

+

cl

)=[（1，0）+（1，1）]•[（（-1，0）+（0，-1）]=-3；
（3）當i=1，j=2，k=2，l=3時，則(

ai

+

aj

)•(

ck

+

cl

)=[（1，0）+（1，1）]•[（（-1，-1）+（0，-1）]=-4；
（4）當i=1，j=3，k=1，l=2時，則(

ai

+

aj

)•(

ck

+

cl

)=[（1，0）+（0，1）]•[（（-1，0）+（-1，-1）]=-3；
同樣地，當i，j，k，l取其它值時，(

ai

+

aj

)•(

ck

+

cl

)=-5，-4，或-3．
則(

ai

+

aj

)•(

ck

+

cl

)的最小值是-5．
故答案為：-5．

點評：本小題主要考查平面向量坐標表示、平面向量數量積的運算等基本知識，考查考查分類討論、化歸以及數形結合等數學思想方法，考查分析問題、解決問題的能力．