Question

在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上（如圖），且OC=1，OA=a+1（a＞1），點D在邊OA上，滿足OD=a．分別以OD、OC為長、短半軸的橢圓在矩形及其內部的部分為橢圓弧CD．直線l：y=-x+b與橢圓弧相切，與OA交于點E．
（1）求證：b²-a²=1；
（2）設直線l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，求直線l的方程；
（3）在（2）的條件下，設圓M在矩形及其內部，且與l和線段EA都相切，求面積最大的圓M的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設橢圓的方程為．由得（1+a²）x²-2a²bx+a²（b²-1）=0．由于直線l與橢圓相切，知△=（-2a²b）²-4a²（1+a²） （b²-1）=0，由此能夠證明b²-a²=1．
（2）由題意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），于是OB的中點為．因為l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，所以l過點，由此能求出直線l的方程．
（3）由．因為圓M與線段EA相切，所以可設其方程為（x-x）²+（y-r）²=r²（r＞0）．再由圓M在矩形及其內部和圓M與 l相切，且圓M在l上方，能夠求出面積最大的圓M的方程．
解答：證明：（1）題設橢圓的方程為．…（1分）
由消去y得（1+a²）x²-2a²bx+a²（b²-1）=0．…（2分）
由于直線l與橢圓相切，故△=（-2a²b）²-4a²（1+a²） （b²-1）=0，
化簡得b²-a²=1．①…（4分）
解：（2）由題意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），
于是OB的中點為．…（5分）
因為l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，所以l過點，
即f（x），亦即2b-a=2．②…（6分）
由①②解得，故直線l的方程為．…（8分）
解：（3）由（2）知．
因為圓M與線段EA相切，所以可設其方程為（x-x）²+（y-r）²=r²（r＞0）．…（9分）
因為圓M在矩形及其內部，所以④…（10分）
圓M與 l相切，且圓M在l上方，所以，即．
…（12分）
代入④得即．…（13分）
所以圓M面積最大時，，這時，．
故圓M面積最大時的方程為．…（15分）
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．本題綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．