Question

【題目】已知橢圓 =1（a＞b＞0）上的點到右焦點F的最小距離是 ﹣1，F到上頂點的距離為 ，點C（m，0）是線段OF上的一個動點．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在過點F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點，使得（ + ）⊥ ，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知a﹣c= ﹣1且 ，

解得a= ，b=c=1，

∴橢圓的方程為

（2）解：由（1）得F（1，0），所以0≤m≤1．

假設存在滿足題意的直線l，設l的方程為

y=k（x﹣1），代入 ，

得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則 ①

∴ ，

∴ ，

∵ 而AB的方向向量為（1，k），

∴

∴當0≤m＜ 時，k=± ，即存在這樣的直線l；

當 ≤m≤1時，k不存在，即不存在這樣的直線l

【解析】（1）由題意可知a﹣c= ﹣1且 ，解得a= ，b=c=1，由此可求出橢圓的方程．（2）假設存在滿足題意的直線l，設l的方程為y=k（x﹣1），代入 ，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），再由根與系數的關系結合題設條件能夠導出不存在這樣的直線l．