Question

已知函數．（k∈R且k＞0）．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）若函數f（x）在[10，+∞）上單調遞增，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意得，＞0，即（x-1）（kx-1）＞0，
∵k＞0，∴應分三種情況求解：
當0＜k＜1時，定義域為，
當k=1時，定義域為（-∞，1）∪（1，+∞）
當k＞1時，定義域為；
（2）令y==k+，
∵函數y=lgx在定義域上單調遞增，且f（x）在[10，+∞）上單調遞增，
∴函數y=在[10，+∞）上單調遞增，∴k-1＜0，解得k＜1，
∵當0＜k＜1時，函數的定義域是，
∴＜10，即k＞，
∴．
分析：（1）根據真數大于零列出不等式，由k＞0分三種情況分別求出函數的定義域，并用集合或區間表示；
（2）用分離常數法對真數對應的函數進行化簡，由題意和復合函數的單調性，確定k的范圍，注意單調區間一定是函數定義域的子集．
點評：本題的考點是對數函數的性質的應用，利用對數的真數大于零，復合函數的單調性“同增異減”法則，還有單調區間與定義域的關系，這是易錯的地方考查了，主要用了分類討論思想．