Question

已知直線l：y=mx+1與曲線C：ax²+y²=2（m、a∈R）交于A、B兩點，O為坐標原點．
（1）當m=0時，有∠AOB=

π

3

，求曲線C的方程；
（2）當實數a為何值時，對任意m∈R，都有

OA

•

OB

為定值T？指出T的值；
（3）已知點M（0，-1），當a=-2，m變化時，動點P滿足

MP

=

OA

+

OB

，求動點P的縱坐標的變化范圍．

Answer 1

分析：（1）當m=0時，推出A，B的坐標，利用∠AOB=

π

3

，求出a的值，即可得到曲線C的方程；
（2）設A、B兩點坐標為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），聯立方程，通過韋達定理結合

OA

•

OB

的表達式為定值T，即可求出a的值以及T的值；
（3）設出動點P，求出

MP

=

OA

+

OB

，結合（2）求出y=

2+m2

2-m2

，通過判別式求出m的范圍，即可求動點P的縱坐標的變化范圍．

解答：解：（1）當m=0時，聯立方程可得：ax²=1，∴x=±

1 a

∴A(

1 a

，1)，B(-

1 a

，1)，∵∠AOB=

π

3

，∴

1

2

=

- 1 a +1

1 a +1

解得：a=3，
∴方程為

3x2

2

+

y2

2

=1
（2）設A、B兩點坐標為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），聯立方程：

y=mx+1 ax2+y2=2

可得：
（a+m²）x²+2mx-1=0
∴

x1+x2=- 2m a+m2 x1x2=- 1 a+m2

∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(mx1+1)(mx2+1)=（m²+1）x₁x₂+m（x₁+x₂）+1=-

m2+1

a+m2

-

2m2

a+m2

+1=

a-2m2-1

a+m2

要使

OA

•

OB

=T，則-2m²+（a-1）=Tm²+Ta∴T=-2且a-1=Ta即a=

1

3

且T=-2
而當a=

1

3

時，

1

3

+m2≠0且△=4m2+4(

1

3

+m2)=8m2+

4

3

＞0恒成立∴當實數a=

1

3

時，對任意m∈R，都有

OA

•

OB

=-2
（3）設P（x，y），∴

MP

=(x，y+1)，∴y+1=y1+y2=m(x1+x2)+2=

4

2-m2

∴y=

2+m2

2-m2

又對方程（m²-2）x²+2mx-1=0，△=8m²-8＞0，∴m²＞1且m²≠2
∴y=-1+

4

2-m2

，∴y＞3或y＜-1

點評：本題難題，考查曲線的軌跡方程的求法，韋達定理的應用，向量的數量積的計算以及判別式的應用，考查計算能力，轉化思想，整體思想的應用，變量范圍問題一般通過一個等式與一個不等式求解．