Question

已知直線l過(guò)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)且與C的對(duì)稱(chēng)軸垂直，l與C交于A、B兩點(diǎn)，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且S_△ABP=36，則拋物線C的方程為

y²=16x

．

Answer 1

分析：用p表示拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，求出通徑長(zhǎng)，直接由桑僥幸的面積公式求p，則答案可求．

解答：解：拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（

p

2

，0），準(zhǔn)線方程為x=-

p

2

．
與C的對(duì)稱(chēng)軸垂直的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|=2p．
又P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，∴P到AB的距離為p．
則S_△ABP=

1

2

×2p×p=p2=36，∴p=6．
∴拋物線C的方程為y²=16x．
故答案為y²=16x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，屬中檔題．