Question

（本小題滿分13分）設數列的前項和為.已知，，.
（1）寫出的值，并求數列的通項公式；
（2）記為數列的前項和，求；
（3）若數列滿足，，求數列的通項公式.

Answer 1

（1）；（2）；（3）。

試題分析：（Ⅰ）由已知得，，.    …………………2分
由題意，，則當時，.
兩式相減，得（）.    ………………………3分
又因為，，，
所以數列是以首項為，公比為的等比數列，
所以數列的通項公式是（）. ………………………………4分
（Ⅱ）因為，
所以， ……………………5分
兩式相減得，， ………7分
整理得， ().        ………………………………8分
（Ⅲ） 當時，依題意得,,… , .
相加得，. …………………11分
依題意.
因為，所以（）.
顯然當時，符合.
所以().            …………………13分
點評：我們要熟練掌握求數列通項公式的方法。公式法是求數列通項公式的基本方法之一，常用的公式有：等差數列的通項公式、等比數列的通項公式及公式。此題的第一問求數列的通項公式就是用公式，用此公式要注意討論的情況。