Question

設函數f（x）=lg（

2

x+1

-1）的定義域為集合A，函數g（x）=-x²+2x+a（0≤x≤3，a∈R）的值域為集合B．
（1）求f（

1

2013

）+f（-

1

2013

）的值；
（2）若A∩B=∅，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數奇偶性的定義，證出f（x）是奇函數，得f（

1

2013

）與f（-

1

2013

）互為相反數，即得所求函數值的和；
（2）由對數的真數大于0，得集合A=（-1，1），再根據二次函數在閉區間上的值域求法，得集合B=[-3+a，1+a]．A∩B=∅得區間A在B的左邊或右邊，沒有公共元素，由此建立關于a的不等式，解之即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=lg（

2

x+1

-1）=lg

1-x

1+x

∴函數的定義域為{x|

1-x

1+x

＞0}=（-1，1），關于原點對稱
∵f（-x）=lg

1+x

1-x

=lg（

1-x

1+x

）^-1=-lg

1-x

1+x

=-f（x）
∴f（x）是奇函數，得f（-

1

2013

）=-f（

1

2013

），
因此f（

1

2013

）+f（-

1

2013

）=0；
（2）由（1），f（x）的定義域A=（-1，1），
∵函數g（x）=-x²+2x+a在區間[0，1]上是增函數，在區間[1，3]上是減函數
∴g（x）的最大值為g（1）=1+a，最小值為g（3）=-3+a
函數g（x）=-x²+2x+a（0≤x≤3，a∈R）的值域B=[-3+a，1+a]
∵A∩B=∅，
∴1+a≤-1或-3+a≥1，得a≤-2或a≥4
即實數a的取值范圍為（-∞，-2]∪[4，+∞）

點評：本題給出真數為分數的對數型函數，求函數的定義域和特殊的函數值，著重考查了基本初等函數的定義域、值域，以及集合的基本運算等知識，屬于中檔題．