Question

【題目】已知函數在上是奇函數．

（1）求；

（2）對，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）令，若關于的方程有唯一實數解，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）

（2）

（3）或

【解析】試題分析：（1）函數是奇函數，所以,解方程求a.（2）對于任意，函數f（x）恒大于0，不等式恒成立，即不等式恒成立，則。（3）先求，由得g（2x）=mg（x+1）即，所以（*）,令，則方程（*）變為。關于的方程有唯一實數解，所以方程有且只有一個正根。方程的根分以下三種情況討論①有且只有一個根且是正根②有一正根一負根③有一正根一零根，求m的范圍。

試題解析：（1）因為所以所以

（2），

所以，即

（3）因為，

即，所以（*）

因為關于的方程有唯一實數解，所以方程（*）有且只有一個根，

令，則方程（*）變為有且只有一個正根，

①方程有且只有一個根且是正根，則

所以，當時，方程的根為滿足題意；

當時，方程的根為不滿足題意

分

②方程有一正根一負根，則，所以

③方程有一正根一零根，則，所以，此時滿足題意

綜上， 的范圍為或

說明：本題第（1）問中，利用特殊值法求解也正確。