Question

如圖，在三棱柱ABC­A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB＝3，BC＝5.

(1)求證：AA₁⊥平面ABC；
(2)求二面角A₁­BC₁­B₁的余弦值；
(3)證明：在線段BC₁上存在點D，使得AD⊥A₁B，并求的值．

Answer 1

(1)見解析   (2)    (3) 見解析

解：(1)證明：因為四邊形AA₁C₁C為正方形，所以AA₁⊥AC.
因為平面ABC⊥平面AA₁C₁C，且AA₁垂直于這兩個平面的交線AC，所以AA₁⊥平面ABC.
(2)由(1)知AA₁⊥AC，AA₁⊥AB.
由題知AB＝3，BC＝5，AC＝4，
所以AB⊥AC.
如圖，以A為原點建立空間直角坐標系A­xyz，則B(0,3,0)，A₁(0,0,4)，B₁(0,3,4)，C₁(4,0,4)，

＝(0,3，－4)，＝(4,0,0)．
設平面A₁BC₁的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
令z＝3，則x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．
同理可得，平面B₁BC₁的一個法向量為m＝(3,4,0)．
所以cos〈 n，m〉＝＝.
由題知二面角A₁­BC₁­B₁為銳角，
所以二面角A₁­BC₁­B₁的余弦值為.
(3)證明：設D(x，y，z)是直線BC₁上一點，且＝λ.
所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)．
解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ.
所以＝(4λ，3－3λ，4λ)．
由·＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝.
因為∈[0,1]，所以在線段BC₁上存在點D，
使得AD⊥A₁B.此時，＝λ＝.