Question

已知橢圓=1(a＞b＞0),點P為其上一點，F₁、F₂為橢圓的焦點，∠F₁PF₂的外角平分線為l，點F₂關于l的對稱點為Q，F₂Q交l于點R.

(1)當P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；

(2)設點R形成的曲線為C，直線l: y=k(x+a)與曲線C相交于A、B兩點，當△AOB的面積取得最大值時，求k的值.

Answer 1

(1) R的軌跡方程為： x²+y²=a²(y≠0) (2)

解析:

(1)∵點F₂關于l的對稱點為Q，連接PQ，

∴∠F₂PR=∠QPR，|F₂R|=|QR|，|PQ|=|PF₂|

又因為l為∠F₁PF₂外角的平分線，故點F₁、P、Q在同一直線上，設存在R(x₀,y₀）,Q(x₁,y₁),F₁(－c,0),F₂(c,0).

|F₁Q|=|F₂P|+|PQ|=|F₁P|+|PF₂|=2a,則(x₁+c)²+y₁²=(2a)².

又

得x₁=2x₀－c,y₁=2y₀。 

∴(2x₀)²+(2y₀)²=(2a)²，∴x₀²+y₀²=a².

故R的軌跡方程為： x²+y²=a²(y≠0)

(2)如右圖，∵S_△AOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB

當∠AOB=90°時，S_△AOB最大值為a².

此時弦心距|OC|=.

在Rt△AOC中，∠AOC=45°，