Question

已知△ABC的頂點A（0，1），AB邊上的中線CD所在的直線方程為2x-2y-1=0，AC邊上的高BH所在直線的方程為y=0．
（1）求△ABC的頂點B、C的坐標；
（2）若圓M經過不同的三點A、B、P（m，0），且斜率為1的直線與圓M相切于點P，求圓M的方程．

Answer 1

分析：（1）由AC邊上的高BH所在直線的方程為y=0即x軸，得到AC邊所在直線的方程為x=0即y軸，把x=0與2x-2y-1=0聯立即可求出C的坐標，因為點B在x軸上，可設B的坐標為（b，0）利用中點坐標公式求出AB的中點D的坐標，把D的坐標代入到中線CD的方程中即可求出b的值，得到B的坐標；
（2）根據A和B的坐標求出線段AB的垂直平分線方程，根據B和P的坐標求出線段BP的垂直平分線方程，設出圓心M的坐標，代入AB垂直平分線方程得到①，然后根據斜率為1的方程與圓相切，利用兩直線垂直時斜率乘積為-1得到直線MP的斜率為-1，根據M和P的坐標表示出直線MP的斜率讓其等于-1得到②，聯立①②即可求出圓心M的坐標，然后利用兩點間的距離公式求出線段MA的長度即為圓的半徑，根據所求的圓心M和半徑寫出圓的方程即可．

解答：解：（1）AC邊上的高BH所在直線的方程為y=0，所以直線AC的方程為：x=0，
又直線CD的方程為：2x-2y-1=0，聯立得

x=0 2x-2y-1=0

解得

x=0 y=- 1 2

，所以C(0，-

1

2

)，
設B（b，0），則AB的中點D(

b

2

，

1

2

)，代入方程2x-2y-1=0，解得b=2，所以B（2，0）；
（2）由A（0，1），B（2，0）可得，圓M的弦AB的中垂線方程為4x-2y-3=0，
注意到BP也是圓M的弦，所以，圓心在直線x=

m+2

2

上，
設圓心M坐標為(

m+2

2

，n)，
因為圓心M在直線4x-2y-3=0上，所以2m-2n+1=0①，
又因為斜率為1的直線與圓M相切于點P，所以k_MP=-1，
即

n

m+2 2 -m

=-1，整理得m-2n-2=0②，
由①②解得m=-3，n=-

5

2

，
所以，圓心M(-

1

2

，-

5

2

)，半徑MA=

1 4 + 49 4

=

50

2

，
則所求圓方程為(x+

1

2

)2+(y+

5

2

)2=

50

4

，化簡得x²+y²+x+5y-6=0．

點評：此題考查學生掌握三角形的中線所在直線的方程及高所在直線的方程的求法與應用，掌握兩直線垂直時斜率滿足的關系，掌握直線與圓相切時滿足的條件，靈活運用中點坐標公式及兩點間的距離公式化簡求值，是一道中檔題．