Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB=BC=1，CC₁=2，點D是AA₁的中點．

（1）證明：平面BC₁D⊥平面BCD；
（2）求CD與平面BC₁D所成角的正切值；
（3）求點C到平面BDC₁的距離．

Answer 1

分析：（1）證明平面BC₁D⊥平面BCD，利用面面垂直的判定，證明C₁D⊥平面BCD即可；
（2）根據(jù)斜線CD在平面BC₁D的射影在BD上，可得∠BDC為所求的線面角，根據(jù)△BCD是直角三角形，即可求得CD與平面BC₁D所成角的正切值；
（3）點C到平面BDC₁的距離為到交線BD的距離，根據(jù)等面積可得結(jié)論．

解答：（1）證明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥CC₁，
∵AC⊥BC，CC₁∩AC=C
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
而C₁D?平面ACC₁A₁，∴BC⊥C₁D
在矩形ACC₁A₁中，DC=DC₁=

2

，CC₁=2，∴DC²+DC₁²=CC₁²，
∴C₁D⊥DC
∵DC∩BC=C
∴C₁D⊥平面BCD
∵C₁D?平面BC₁D，∴平面BC₁D⊥平面BCD；
（2）解：由（1）知，斜線CD在平面BC₁D的射影在BD上，∠BDC為所求的線面角
由（1）知，BC⊥平面ACC₁A₁，∴BC⊥CD
∴△BCD是直角三角形，BC=1，CD=

2

∴CD與平面BC₁D所成角的正切值為

2

2

；
（3）解：設(shè)所求距離為d，∵平面BC₁D⊥平面BCD，交線為BD
∴點C到平面BDC₁的距離為到交線BD的距離
根據(jù)等面積可得1×

2

=

3

d
∴d=

6

3

．

點評：本題考查面面垂直，考查線面角，考查點到面的距離，解題的關(guān)鍵是掌握面面垂直的判定，正確作出線面角．