Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=x²+mx+（m＜0），直線l與函數f（x）、g（x）的圖象都相切，且與函數f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（Ⅰ）求直線l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的導函數），求函數h（x）的最大值；
（Ⅲ）當0＜b＜a時，比較：a+2af（a+b）與b+2af（2a）的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵直線l與函數f（x）的圖象相切，且切點的橫坐標為1．
∴切點坐標為P（1，ln1），即P（1，0）
求得f′（x）=，所以切線斜率為k=f′（1）=1
∴直線l的方程為y=x-1
又∵直線l與函數y=g（x）的圖象相切，設切點為Q（x₀，x₀-1）
∴?m=-2或4
∵m＜0∴x₀=-2
故所求直線方程為y=x-1，m的值是-2
（Ⅱ）由（I）得g′（x）=x-2
∴h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x+2
求導：h′（x）= （x＞-1）
當x∈（-1，0）時，h′（x）＞0，函數h（x）是增函數；
當x∈（0，+∞）時，h′（x）＜0，函數h（x）是減函數
∴函數h（x）在x=0時有極大值，并且這個極大值是最大值
故函數h（x）的最大值為h（0）=2；
（Ⅲ）為了比較：a+2af（a+b）與b+2af（2a）的大小，進行作差：
[a+2af（a+b）]-[b+2af（2a）]=a-b+2a[f（a+b）-f（2a）]=a-b+2aln（）
∵0＜b＜a
∴設a-b=t，（t＞0），得a=b+t
可得a-b+2aln（）=t+2（b+t）ln[]
再記，（-1＜s＜0），
F（s）=ln（1+s）-s?F′（s）=＞0
∴F（s）在（-1，0）是增函數，F（s）＜F（0）=0
∴t+2（b+t）ln[]＜t+2（b+t）=t-t=0
即a-b+2aln（）＜0
∴a+2af（a+b）＜b+2af（2a）
分析：（Ⅰ）根據直線l與函數f（x）的圖象切點的橫坐標為1，得到切點P（1，0），再求出斜率k=f′（1），用點斜式方程可求直線l的方程．再設直線l與函數y=g（x）圖象切點為Q（x₀，x₀-1），根據兩曲線的公共點和導數的幾何意義聯列方程組，解之可得m的值；
（Ⅱ）由（I）的結果，得h（x）=ln（x+1）-x+2，通過求導數、討論h′（x）的符號，得到函數h（x）在區間（-1，0）上是增函數，在區間（0，+∞）上是減函數，從而得出函數h（x）的最大值是h（0）=2；
（III）先作差：[a+2af（a+b）]-[b+2af（2a）]=a-b+2aln（），然后記a-b=t，（t＞0），得a=b+t，將所得的差化為以b和t為單位的式子，再記，F（s）=ln（1+s）-s，通過討論其單調性得ln（1+s）＜s，最后將此不等式還原為以b和t為單位的式子，運用不等式的性質進行放縮，可得a-b+2aln（）＜0，最終得到a+2af（a+b）＜b+2af（2a）．
點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點切線方程、導數在最大值、最小值問題中的應用以及不等式與函數相綜合等知識點，屬于難題．解題時應該注意轉化化歸思想與不等式放縮等技巧的運用．