Question

附加題必做題如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設(shè)AD=1，D₁D=λ（λ＞0），若棱C₁C上存在點(diǎn)P滿足A₁P⊥平面PBD，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：先以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，其中P點(diǎn)的坐標(biāo)要設(shè)出來(lái)，再利用線面垂直的定義，由

A1P

•

BP

=0，得關(guān)于λ的等式，求其范圍即可

解答：解：如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)O，DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸建立
空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則D（0，0，0），B（1，1，0），A₁（1，0，λ），
設(shè)P（0，1，x），其中x∈[0，λ]，
則

BP

=（-1，0，x），

A1P

=（-1，1，x-λ）
因?yàn)锳₁P⊥平面PBD，所以A₁P⊥PB
所以

A1P

•

BP

=0，
即（-1，1，x-λ）•（-1，0，x）=0，
化簡(jiǎn)得x²-λx+1=0，x∈[0，λ]，
故判別式△=λ²-4≥0，且λ＞0，
解得λ≥2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用空間向量和空間直角坐標(biāo)系解決線面垂直和點(diǎn)的存在性問(wèn)題的方法．