Question

已知函數f(x)=

x2+x-a(x≥a) x2-x+a(x＜a)

，
（1）當a=0時，判斷函數的奇偶性，并加以證明；
（2）當0＜a＜1，求函數h（x）=f（x）-x的零點；
（3）當0＜a＜1時，探討函數y=f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）根據函數奇偶性的定義即可作出判斷；
（2）函數h（x）的零點，即為方程h（x）=0的根，分x≥a，x＜a兩種情況解方程即可；
（3）對f（x）配方，按照x≥a，x＜a進行討論，其中x＜a時再分a≥

1

2

，0＜a＜

1

2

兩種情況討論，借助二次函數的圖象即可得到f（x）的單調性；

解答：解：（1）當x=0時，f（x）=0，
當x＞0時，-x＜0，則f（-x）=（-x）²-（-x）=x²+x=f（x），
當x＜0時，-x＞0，則f（-x）=（-x）²+（-x）=x²-x=f（x），
所以f（-x）=f（x），故f（x）為偶函數；
（2）當0＜a＜1時，
當x≥a時，方程f（x）-x=0即為x²-a=0，解得x=

a

，
當x＜a時，方程f（x）-x=0即為x²-2x+a=0，解得x=1-

1-a

，
綜上所述，當0＜a＜1時，h（x）=f（x）-x的零點為

a

，1-

1-a

；
（3）當0＜a＜1時，
當x≥a時，f（x）=x2+x-a=(x+

1

2

)2-a-

1

4

，
由二次函數的大致圖象可知：f（x）在[a，+∞）上是增函數，
當x＜a時，f（x）=(x-

1

2

)2+a-

1

4

，由二次函數的大致圖象可知：
①a≥

1

2

時，f（x）在（-∞，

1

2

）上是減函數，在（

1

2

，a）上是增函數；
②當0＜a＜

1

2

時，由二次函數的大致圖象可知：f（x）在（-∞，a）上是減函數，
綜上所述，當x≥a時，f（x）在[a，+∞）上是增函數；當x＜a時，若a≥

1

2

，f（x）在（-∞，

1

2

）上是減函數，在（

1

2

，a）上是增函數；若0＜a＜

1

2

，f（x）在（-∞，a）上是減函數．

點評：考查函數的奇偶性、單調性、二次函數的性質及函數的零點，考查分類討論思想、數形結合思想及函數與方程思想，考查學生運用所學知識分析解決問題的能力．