Question

如圖所示，已知正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁的底面邊長為4，AA₁=6，Q為BB_l的中點，PDD_l，MA_lB₁，N∈C_lD₁，A₁M=1，D₁N=3．

(1)當P為DD₁的中點時，求二面角M―PN―D₁的大小；

(2)在DD₁上是否存在點P，使QD₁⊥PMN面?若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由；

(3)若P為DD₁的中點，求三棱錐Q―PMN的體積．

Answer 1

解：(1)以A₁D₁為軸，以D₁C₁為y軸，DD₁為z軸，D₁為原點建立空間直角坐標系，

則D₁(0，0，0)，A₁(4，0，0)，P(0，0，3)，M(4，1，0)，N(0，3，0)．

∴(4，0，0)， (0，3，一3)，(4，1，一3)，

顯然是面PD₁N的法向量．設面PMN的法向量為，

則由，得，∴，

不妨設(1，2，2)，設與所成的角為，則，

∴，所以二面角M―PN―D₁的大小為arccos．

(2)因為=(一4，2，0)，=(一4，一4，一3)，

所以=(一4，一4，一3)?(―4，2，0)=8所以與不垂直，

所以不存在點P使QD_l⊥面PMN．

    (3)∵P(0，0，3)，∴，

    cos<，

    ∴sin∠MPN=，

S_△PMN=9，又=(4，4，0)，由(1)可知，

取平面的法向量(1，2，2)，則Q到平面PMN的距離為

    ∴V_Q―PMN=12．