Question

設數列{a_n}的前n項和為Sn，且S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹數列{b_n}滿足bn=log₂，其中n∈N^*．
（I）求數列{a_n}通項公式；
（II）求使不等式（1+）•（1+）…（1+）≥m•對任意正整數n都成立的最大實數m的值；
（III）當n∈N^*時，求證．

Answer 1

（Ⅰ）解：由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
兩式相減，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是-=1，所以數列{}是公差為1的等差數列．
又S₁=a₁=2a₁-2²，所以a₁=4．
所以=2+（n-1）=n+1，故a_n=（n+1）•2ⁿ
（II）∵b_n=log₂=log₂2ⁿ=n
∴（1+）•（1+）…（1+）≥m•即為（1+1）•（1+）…（1+）≥m•
∴m≤對任意正整數n都成立
令f（n）=，則f（n+1）=
∴=＞1
∴f（n）單調遞增，故f（n）≥f（1）=
∴m≤
∴m的最大值為；
（III）證明：欲證
只要證
∵=
∴=[（）+（）]=
∴．
分析：（Ⅰ）根據數列遞推式，確定數列是數列{}是公差為1的等差數列，將a₁=4代入便可求出數列{a_n}的通項公式；
（II）問題可轉化為m≤對任意正整數n都成立，求出右邊函數的最大值，即可求得m的最大值；
（III）欲證，只要證，利用=，即可證得結論．
點評：本題數列遞推式，考查數列的通項，考查恒成立問題，考查不等式的證明，正確分離參數是關鍵．