Question

某校高一（2）班共有學生51人，據統計原來每人每年用于購買飲料的平均支出是a元，若該班全體學生改飲某品牌的桶裝純凈水，經測算和市場調查，其年總費用由兩部分組成，一部分是購買純凈水的費用，另一部分是其它費用228元，其中，純凈水的銷售價x（元/桶）與年購買總量y（桶）之間滿足如圖所示關系．
（1）求y關于x的函數關系式；
（2）當a=120時，若該班每年需要純凈水380桶，請你根據提供的信息比較，該班全體學生改飲桶裝純凈水的年總費用與該班全體學生購買飲料的年總費用，哪一種更少？說明你的理由；
（3）當a至少為多少時，該班學生集體改飲桶裝純凈水的年總費用一定比該班全體學生購買飲料的年總費用少？

Answer 1

【答案】分析：（1）設出直線方程，根據題目中兩組數據直接求出參數k，b，從而可得y關于x的函數關系式；
（2）分別比較兩種方式花錢數量，判斷哪一種花錢更少；
（3）設出每年購買純凈水的費用為P元與x的關系式，然后根據配方法求二次函數的最值．
解答：解：（1）設y=kx+b，
∵x=8時，y=400；x=10時，y=320．
∴解之，得k=-40，b=720
∴y與x的函數關系式為y=-40x+720（x＞0）；
（2）該班學生買飲料每年總費用為51×120=6120（元），
當y=380時，380=-40x+720，得x=8.5，
該班學生集體飲用桶裝純凈水的每年總費用為380×8.5+228=3458（元），
顯然，從經濟上看飲用桶裝純凈水花錢少；
（3）設該班每年購買純凈水的費用為P元，則P=xy=x（-40x+720）=-40（x-9）²+3240
∴x=9時，P_max=3240
要使飲用桶裝純凈水的年總費用一定比該班全體學生購買飲料的年總費用少，則51a≥P_max+228
解得a≥68，故a至少為68元時全班飲用桶裝純凈水的年總費用一定比該班全體學生購買飲料的年總費用少．
點評：本題考查函數模型的選取與應用，考查學生利用數學知識解決實際問題，通過題意分別列出等式，并根據二次函數求最值，屬于中檔題．