Question

選修4-5：不等式選講
已知關于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1（a＞0）．
（1）當a=1時，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集為R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，可得2|x-1|≥1，即|x-1|≥

1

2

，由此求得不等式的解集．
（2）不等式|ax-1|+|ax-a|≥1解集為R，等價于|a-1|≥1，由此求得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=1時，可得2|x-1|≥1，即|x-1|≥

1

2

，解得x≥

3

2

或x≤

1

2

，
∴不等式的解集為(-∞，

1

2

]∪[

3

2

，+∞)．  …（5分）
（2）∵|ax-1|+|ax-a|≥|a-1|，不等式|ax-1|+|ax-a|≥1解集為R，等價于|a-1|≥1．
解得a≥2，或a≤0．    又∵a＞0，∴a≥2．
∴實數a的取值范圍為[2，+∞）．   …（10分）

點評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，體現了等價轉化的數學思想，屬于中檔題．