Question

【題目】在等比數列{an}中，a1=2，a3 ， a2+a4 ， a5成等差數列．
（1）求數列{an}的通項公式
（2）若數列{bn}滿足b1+ +…+ =an（n∈N*），{bn}的前n項和為Sn ， 求使Sn﹣nan+6≥0成立的正整數n的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵等比數列{an}中，a1=2，a3，a2+a4，a5成等差數列．

∴2（a2+a4）=a3+a5，

即2（a2+a4）=q（a2+a4），

∴q=2，

則an=a1qn﹣1=2×2n﹣1=2n，

即 ；

（2）解∵數列{bn}滿足b1+ ，

∴b1+ +…+ + =an+1，

兩式相減得 =an+1﹣an=2n+1﹣2n=2n，

則bn+1=（n+1）2n，即bn=n2n﹣1，n≥2，

當n=1時，b1=a1=2，不滿足bn=n2n﹣1，n≥2．

即bn= ．

當n=1時，不等式等價為S1﹣a1+6=6≥0成立，

當n≥2時，

Sn=2+221+322+423+…+n2n﹣1，①

則2Sn=4+222+323+424+…+n2n，②

②﹣①，得Sn=2+221﹣22﹣23﹣24﹣…﹣2n﹣1+n2n=6﹣ +n2n=6+n2n=6+4﹣2n+1+n2n=10+（n﹣2）2n，

則當n≥2時，不等式Sn﹣nan+6≥0等價為10+（n﹣2）2n﹣n2n+6≥0，

即16﹣22n≥0，則2n≤8，得n≤3，

則n的最大值是3．

【解析】（1）根據等比數列和等差數列的通項公式建立方程關系進行求解即可．（2）利用方程法求出數列{bn}的通項公式，利用錯位相減法求出{bn}的前n項和公式，解不等式即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．