Question

設f（x）是定義在R上的增函數，又F（x）=f（x）-f（-x），那么F（x）一定是

1. A.
   奇函數，且在（-∞，+∞）上是增函數
2. B.
   奇函數，且在（-∞，+∞）上是減函數
3. C.
   偶函數，且在（-∞，+∞）上是增函數
4. D.
   偶函數，且在（-∞，+∞）上是減函數

Answer 1

A
分析：先根據符合函數的單調性判斷函數F（x）的單調性，再直接用-x代入計算，比較F（x）與F（-x），根據奇偶性的定義作出是奇函數判斷即可，從而選出正確選項．
解答：∵f（x）是定義在R的增函數
∴f（-x）是定義在R的減函數，從而-f（-x）是定義在R的增函數，
∴F（x）=（x）-f（-x）在（-∞，+∞）的增函數，
∵F（x）=f（x）-f（-x）
∴F（-x）=f（-x）-f（x）
則F（x）=-F（-x）
∴函數F（x）為奇函數，且在（-∞，+∞）的增函數
故選A．
點評：本題主要考查函數奇偶性的定義以及函數單調性的判斷與證明，同時考查分析問題的能力，屬于中檔題．