Question

函數，其中a為常數．
（1）證明：對任意a∈R，函數y=f（x）圖象恒過定點；
（2）當a=1時，不等式f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，求實數b的取值范圍；
（3）若對任意a∈[m，0）時，函數y=f（x）在定義域上恒單調遞增，求m的最小值．

Answer 1

（1）證明：令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，
∴函數y=f（x）圖象恒過定點（1，1）． …（2分）
（2）解：當a=1時，，
∴，即，
令f'（x）=0，得x=1．

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）		極小值

∴f_min（x）=f（1）=1，
∵f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，
∴-2b≥f_min（x），即-2b≥1，
∴實數b的取值范圍為．…（9分）
（3）解：，即，令g（x）=x²+alnx-a，
由題意可知，對任意a∈[m，0），f'（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立，
即h（x）=x²+alnx-a≥0在x∈（0，+∞）恒成立．
∵，令h'（x）=0，得（舍）或．
列表如下：

x	（0，）		（，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘	極小值	↗

∴，解得a≥-2e³．
∴m的最小值為-2e³． …（16分）
分析：（1）令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，由此可得結論；
（2）利用f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，可得-2b≥f_min（x），求出函數的最小值，即可求實數b的取值范圍；
（3）對任意a∈[m，0）時，函數y=f（x）在定義域上恒單調遞增，等價于對任意a∈[m，0），f'（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立，即h（x）=x²+alnx-a≥0在x∈（0，+∞）恒成立，由此可得結論．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的最值，考查恒成立問題，確定函數的最值是關鍵．