Question

【題目】如圖，三棱柱中，側棱底面， ， ， 是棱的中點.

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求平面將此三棱柱分成的兩部分的體積之比.

Answer 1

【答案】（1）平面平面；（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）通過線面垂直可得，運用勾股定理可得，由線面垂直判定定理可得平面，由面面垂直判定定理得結論；（Ⅱ）平面將三棱柱分成上、下兩部分，其上面部分幾何體為四棱錐，下面部分幾何體為四棱錐，分別計算出其體積即可.

試題解析：（Ⅰ）在三棱柱中，有，

又因為， ，

所以平面，

因為平面，

所以，

由， ， 是棱的中點.

所以， ，

則 ，

所以，

因，

所以平面.

又因為平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）平面將三棱柱分成上、下兩部分，其上面部分幾何體為四棱錐，下面部分幾何體為四棱錐.

在平面中，過點作，垂足為，則平面，

所以是四棱錐的高，

在中，因為，所以.

為直角梯形，其面積 ，

所以四棱錐的體積 .

因三棱柱的體積 ，

所以下部分幾何體的體積 ，

所以兩部分幾何體的體積之比為.