Question

有以下五個命題①y=sin2x+

9

sin2x

的最小值是6．②已知f(x)=

x- 11

x- 10

，則f（4）＜f（3）．③函數f（x）值域為（-∞，0]，等價于f（x）≤0恒成立．④函數y=

1

x-1

在定義域上單調遞減．⑤若函數y=f（x）的值域是[1，3]，則函數F（x）=1-f（x+3）的值域是[-5，-3]．其中真命題是：

③

．

Answer 1

分析：①利用均值不等式進行放縮，注意取等號的條件；
②對f（x）進行求導，利用導數判斷f（x）的增減性，從而進行判斷；
③根據函數值域的定義進行判斷；
④可以類比于反比例函數，對其進行判斷；
⑤本題只是自變量x發生了變化，函數值y并未隨之發生變化，可知f（x）與f（x+3）的值域一樣，利用此信息進行求解；

解答：解：①∵y=sin2x+

9

sin2x

≥2

9

=6，當sin2x=

9

sin2x

時等號成立，即sin²x=3，∵sin²x≤1，取不到等號，所以函數y的最小值取不到6，故①錯誤；
②f(x)=

x- 11

x- 10

對其進行求導可得：f′（x）=

11 - 10

(x- 10 )2

＞0，在（-∞，

10

），（

10

，+∞）上是增函數，
∴f（3）＜f（4），故②錯誤；
③函數f（x）值域為（-∞，0]，可以說明f（x）≤0，故③正確；
④函數y=

1

x-1

在定義域為{x|x≠1}，在（-∞，1）和（1，+∞）上是減函數，
不能說在整個定義域上為減函數，故④錯誤；
⑤函數y=f（x）的值域是[1，3]，可得y=f（x+3）的定義域為[1，3]，
∴-2≤1-f（x+3）≤0，∴函數F（x）=1-f（x+3）的值域是[-2，0]，故⑤錯誤；
∴③正確；
故答案為：③；

點評：注意函數圖象左右平移只是改變；自變量x的取值，函數的值域并不改變，此題主要考查均值不等式的利用以及利用導數研究函數的單調性，考查的知識點比較多，是一道綜合題；